Conception et mise en oeuvre de géométries non euclidiennes dans le cadre de la géométrie dynamique illustrées avec Cabri-Géomètre. Expérimentation en formation des maîtres

Nom et prénom : 
MARTIN Yves
Titre de la thèse : 

Conception et mise en oeuvre de géométries non euclidiennes dans le cadre de la géométrie dynamique illustrées avec Cabri-Géomètre. Expérimentation en formation des maîtres

Etablissement : 
Université GRENOBLE
Période : 
2003
Type de thèse : 
Thèse d'université
Spécialité : 
Didactique des mathématiques
Résumé : 

Il s'agit dans ce travail, tout d'abord d'implémenter des outils d'exploration des géométries non euclidiennes dans l'environnement  dynamique de Cabri-géomètre, puis ensuite de proposer un large champ  d'exploration et d'observer leurs effets sur les représentations géométriques de jeunes enseignants de mathématiques en fin de formation initiale.

Dans une première partie, nous implémentons les modèles historiques (hyperboliques et elliptiques), avec la réalisation d'une barre de menu  pour chacun des trois types surfaces pseudosphèriques, en particulier pour  sur la pseudosphère. La manipulation dynamique donne un éclairage saisissant  d'une part sur l'aspect "local" des modèles pseudosphériques, mais aussi sur  la notion de variété différentielle par les manipulations directes sur la pseudosphère ou sur sa représentation dans le disque de Klein Beltrami. Si la construction de micro-mondes hyperboliques des modèles de  Poincaré dans un environnement dynamique comme Cabri n'est pas une nouveauté,  nous avons poursuivi la réalisation plus loin en proposant par exemple les constructions géométriques et dynamiques des pavages réguliers  hyperboliques en conséquence de la mise en place des constructions de quadrature et  autres "polygatures" du cercle. La réalisation d'un micro-monde dynamique de géométrie elliptique dans  le plan (projection stéréographique de la sphère avec identification des  points antipodiques) donne, elle aussi, un regard neuf sur une géométrie peu pratiquée car non disponible. On peut facilement expérimenter que les symétries orthogonales sont des symétries centrales, ou que toutes les droites sont aussi des cercles. La fin de la première partie se termine par une présentation détaillée  de l'axiomatique sur laquelle se fonde notre travail :  l'axiomatique de Bachmann construite autour des symétries orthogonales. On y voit que certains résultats ont une importance constructive indéniable pour les réalisations théoriques précédentes, en particulier tout ce qui touche  à la théorie des faisceaux. Le résultat essentiel de Bachmann est que, même  avec des axiomes minimalistes, la théorie qu'il construit permet de traiter  en même temps des cas hyperboliques, euclidiens et elliptique, en un  plongement de toutes ces géométries dans un plan projectif. Ce plongement est lui  aussi largement illustré de réalisations avec Cabri-géomètre.

Dans une seconde partie, nous rendons compte d'une formation répartie  en 4 séances dans lesquelles les stagiaires IUFM "PLC2 Maths" d'abord se familiarisent puis utilisent rapidement les nouveaux concepts par  l'apport de la géométrie dynamique, de ses outils, et des représentations fortes qu'elle installe rapidement.

En conclusion nous discutons de l'intérêt d'une telle formation pour  les enseignants et tirons aussi quelques conséquences, en terme d'évolution  du cahier des charges, de l'utilisation massive de la géométrie dynamique construite pour l'euclidien, dans des contextes non euclidiens.


Jury :

  • Ferdinando ARZARELLO, Professeur Université de Turin - Rapporteur
  • Daniel PERRIN, Professeur Université Paris Sud - Rapporteur
  • Jean-Marie LABORDE, Directeur de Recherche au CNRS - Directeur de thèse
  • Michèle ARTIGUE, Professeur Université Paris 7 - Examinateur
  • Mario BARRA, Professeur Université de Rome -  Examinateur
  • Pierre BERARD, Professeur Université J. Fourier Grenoble 1 - Examinateur
  • Colette LABORDE, Professeur IUFM de Grenoble - Examinateur