Guy Brousseau

Un chercheur majeur dans un domaine déterminant
pour l'éducation et la formation scientifiques
Une vie au service de la compréhension et de l'amélioration de l'enseignement et de l'apprentissage des mathématiques

André Rouchier [1]

La carrière de Guy Brousseau est totalement inscrite dans l’histoire de ces quarante dernières années concernant les évolutions de l’enseignement des mathématiques. Elle est liée à la mise en place des grands paradigmes qui ont organisé la recherche fondamentale dans ce domaine. Nous en rendons compte en retraçant rapidement son parcours académique, sa contribution scientifique, sa participation aux activités collectives et échanges internationaux et enfin les différentes dimensions de son influence.

Un parcours hors norme

Guy Brousseau commence sa carrière comme élève d’une école normale primaire afin de devenir instituteur. Il reste instituteur quelques années avant de rejoindre, grâce à un détachement, les personnels de tous ordres qui se lancent, au début des années 60, dans le mouvement général de rénovation de l’enseignement des mathématiques. Avec le soutien de son administration, il complète sa formation universitaire avant d’être recruté comme assistant à l’Université Bordeaux I. C’est dans cette université, dans le cadre de l’IREM[2] et avec le soutien permanent du professeur Jean Colmez, qu’il conduira l’essentiel de ses travaux de recherche sur l’enseignement des mathématiques dans la scolarité obligatoire. Il soutient sa thèse d’état en 1986. Avec le soutien des autorités académiques, il met en place le COREM[3], qu’il animera de 1973 à 1998, avant de fonder le LADIST[4], laboratoire qui accompagne le COREM. Entre temps, la création des IUFM[5] lui permettra de devenir, en 1992, professeur d’université jusqu’à sa retraite qu’il prend en 1998. Il devient alors professeur émérite à l’IUFM d’Aquitaine, ce qui lui permet de continuer une activité scientifique et académique (encadrement de thèses) dans le cadre d’un nouveau laboratoire rattaché à l’université Victor Segalen Bordeaux 2, le DAEST[6].
Guy Brousseau commence à publier en 1961 (à l’occasion de la rencontre CIEAEM[7] de la Châtaigneraie [Suisse]), continue par un manuel pour la première année de l’école élémentaire (1965) et va très rapidement poursuivre ses publications dans le domaine scientifique, avec une grande régularité de 1968 jusqu’à la période actuelle. La très profonde intrication de son travail personnel avec la formation des maîtres dans le cadre des IREM, puis la spécificité et l’originalité de son projet de recherche, vont le conduire à publier sur des supports locaux (18 Cahiers de l’IREM de Bordeaux de 1969 à 1978), des textes essentiels pour comprendre le développement de l’instrument théorique fondamental que représente la Théorie des Situations Didactiques. On trouvera ces textes, ainsi que d’autres qui ont été publiés dons des revues comme R.D.M.[8] dans un recueil qui a été édité en anglais chez Kluwer en 1997 sous le titre : Theory of Didactical Situations in Mathematics[9].

Des choix scientifiques profonds et originaux

La passion de Guy Brousseau pour l’enseignement des mathématiques provient d’une fascination double, fascination pour les mathématiques d’une part, leur pouvoir explicatif et leur capacité de mise en forme de la pensée, fascination pour la transmission et la diffusion des savoirs d’autre part ainsi que pour l’étude des conditions qui les rendent possibles. Tout au long de sa carrière scientifique, il saura mobiliser au service de cette double passion une énergie inépuisable et constante, une détermination sans faille, une curiosité sans limite, une rigueur extrême qui l’ont conduit à développer et proposer la théorie la plus achevée et la plus cohérente de ces trente dernière années. 
Cette pensée et cette approche émergent, dans leur force et dans leur singularité, dans la seconde moitié des années 60. Brousseau effectue alors un choix théorique original et décisif qui est exposé dans un texte fondateur : Processus de mathématisation, texte d’une conférence donnée lors des Journées de l’APMEP[10] de 1970. Ce texte est une contribution majeure. Son actualité et sa pertinence ne seront jamais démenties.
Si l’élève et si le professeur sont des acteurs incontournables de l’enseignement et de l’apprentissage, il convient aussi et tout d’abord de s’intéresser à une troisième instance, un « acteur silencieux » : la situation dans laquelle ils évoluent, dans laquelle se déploient l’activité de l’élève et celle du maître selon leurs projets respectifs : apprendre et enseigner. Elle est construite par l’un et vécue par l’autre et évolue par le jeu de leurs interactions selon des règles, le plus souvent tacites, mobilisées au sein du contrat didactique. Cette situation est conçue comme un modèle de la connaissance à enseigner. Elle est à la fois la condition de l’établissement d’une relation didactique spécifique des connaissances en jeu et l’instrument privilégié du processus d’enseignement-apprentissage. Si on veut qu’elle permette d’apprendre des mathématiques, elle ne doit pas être arbitraire dans les modalités d’action qu’elle offre à l’élève.
On peut caractériser l’irruption de la situation comme objet central d’étude à partir de deux points de vue :

  • le premier consiste à se placer, d’une certaine manière, dans une position duale de celle de l’expérimentateur qui s’approche des élèves et les interroge, à l’aide d’épreuves appropriées à propos de leurs conceptions des objets mathématiques qu’ils ont rencontrés, dans l’enseignement ou dans leurs expériences diverses de la vie quotidienne. Le projet didactique est tout autre. Il consiste à renverser cette perspective et à se préoccuper des problèmes et des situations pour elles-mêmes, pour la manière dont elles nous informent sur les connaissances et les savoirs qu’elles mettent en jeu et qu’elles mobilisent. Ainsi, on n’étudie plus le sujet in abstracto mais la situation dans la potentialité qu’elle doit offrir à l’élève, que ce soit dans son activité mathématique ou dans la dimension de l’étude comme sujet de l’institution didactique.
  • le second point de vue s’appuie sur la considération, comme un fait premier, de l’analyse de la situation non didactique, c’est-à-dire la situation d’emploi des mathématiques, qu’elle soit le fait du mathématicien ou du « simple » utilisateur dans un univers de pratiques déterminé. En effet, connaître des mathématiques ne saurait se réduire à la connaissance de théorèmes ou d’algorithmes mais à reconnaître hic et nunc leurs conditions d’usage. Le sens d’un savoir mathématique ne dépend pas d’un jeu d’obligations externes liées par exemple à l’utilisation d’un savoir déterminé, exigence qui est celle de toute injonction didactique. Sur la base de cette analyse, la perspective théorique centrale consiste alors à étudier les conditions de l’installation dans le système didactique de situations qui engagent l’élève comme le font des situations non didactiques. Ce sont ces situations que Guy Brousseau appelle situations adidactiques. Il s’est agi alors pour lui de montrer qu’il est possible de construire des situations adidactiques et de rendre compte de leur fonctionnement à la fois sur le plan théorique (l’ordre de la nécessité en rapport avec la connaissance en jeu) et sur le plan de la contingence (en examinant, par l’observation, leurs conditions de « viabilité didactique » c’est-à-dire de leur installation dans les contraintes de la classe de mathématiques).

Guy Brousseau montre que la réussite de cette installation comporte deux aspects qu’il étudiera au plus près.

Le premier aspect concerne l’installation elle-même, ce qui le conduit à avancer un concept nouveau, celui de dévolution : si les savoirs préexistent à l’élève, leur compréhension exige un usage qui, pour attendu qu’il soit par le maître, ne saurait lui être dicté ; tel est le paradoxe de la dévolution : « Si le maître dit ce qu’il veut, il ne peut plus l’obtenir » (Brousseau, 1998, 73). C’est à ce paradoxe qu’il s’était initialement attaché (dès les années 60) par l’étude des conditions de son dépassement par la dévolution à l’élève de situations adidactiques (« Quelles stratégies de base l’élève peut-il développer dans cette situation ? Quelles rétroactions pourra-t-il en recevoir ? Quelles variables didactiques sont susceptibles de maintenir le sens de la connaissance visée ? etc. »). Le professeur cherche à ce que l’action de l’élève ne soit produite et justifiée que par les nécessités du milieu et par ses connaissances, et non par l’interprétation des procédés didactiques du professeur, ou par ses désirs.
Le second aspect est étroitement lié au premier puisqu’il concerne les conditions du maintien de l’engagement de l’élève dans la situation. Brousseau étudie, à partir d’un cas clinique (aujourd’hui célèbre dans la communauté des didacticiens des mathématiques, le « cas Gaël », l’ensemble des obligations réciproques que chaque partenaire de la situation didactique impose ou croit imposer aux autres et celles qu’on lui impose ou qu’il croit qu’on lui impose, à propos de la connaissance en jeu : c’est le concept de contrat didactique. Il correspond au résultat d’une « négociation » souvent implicite des modalités d’établissement des rapports entre un élève, un certain milieu et un système éducatif. Ce contrat n'est pas un vrai contrat : il n'est ni explicite, ni librement consenti puisqu’il dépend d’une connaissance nécessairement inconnue des élèves. Il place le professeur et l’élève devant une véritable injonction paradoxale : si le maître dit ce qu'il veut que l’élève fasse, il ne peut plus l'obtenir que comme exécution d’un ordre et non par l’exercice de ses connaissances et de son jugement. Réciproquement, si l’élève accepte que le maître lui enseigne les solutions et les réponses, il ne les établit pas lui-même et donc, n’engage pas les connaissances mathématiques nécessaires et ne peut se les approprier. L’apprentissage exige donc le refus du contrat pour prendre en charge le problème de façon autonome (dévolution). L'apprentissage va donc reposer, non pas sur le bon fonctionnement du contrat, mais sur ses ruptures d’où l’importance d’étudier au plus près les conditions effectives de ses ruptures.
D’autre part, c’est en tant qu’actant dans la situation que le sujet rencontre la connaissance, mais cela ne suffit pas pour qu’il y ait apprentissage, car si l’expérience de l’élève est une condition nécessaire, il faut aussi que ces connaissances en acte soient identifiées comme telles, étiquetées et agrégées à des savoirs socialement reconnus. Guy Brousseau met ainsi en évidence la nécessité de l’institutionnalisation et ouvre un domaine nouveau à la théorisation des phénomènes d’enseignement.

La théorie à l’épreuve des faits : les méthodes, le COREM[11]

Une préoccupation majeure de Guy Brousseau consiste à conduire l’étude expérimentale des phénomènes d’enseignement des mathématiques, projet scientifique qui relève d’un schéma général basé sur l’interaction avec les objets étudiés, ces objets étant saisis dans le cadre d’un paradigme théorique adapté. Ici, la théorie ne saurait dire ce qui doit être. Elle modélise les faits, convoque et fait émerger les phénomènes afin de les analyser et de les interpréter. Dans un article publié en 1978, intitulé L’observation des faits didactiques, Guy Brousseau fournit une assise solide à la méthode qui sera au cœur de son travail. Elle est construite autour de l’observation appliquée au champ de la didactique : il s’agit alors de constituer des collections de faits et de les construire comme des phénomènes didactiques, d’en étudier la reproductibilité, le degré de généralité, la consistance.
Le COREM, dont le principe avait été défini par Guy Brousseau à la fin des années 60, et qui a pu être réalisé avec l’appui des pouvoirs publics à partir de 1972, va lui permettre de mener cette étude. Cette structure de recherche, malheureusement restée unique, a pu fonctionner jusqu’à la fin des années 90. Le COREM est le produit d’un couplage d’une école primaire avec une structure permettant l’accueil de la recherche et l’observation de situations de classes proposées par les chercheurs. Ces situations sont conçues et construites en s’appuyant sur la théorie des situations didactiques, sur les questions et hypothèses propres à la recherche entreprise et sur l’expertise des enseignants qui vont assurer la responsabilité de la classe. La notion théorique et pratique d’ingénierie didactique rend compte du fonctionnement d’un système qui s’appuie sur une collaboration étroite entre les enseignants et les chercheurs.
En outre, et à l’appui de ce projet scientifique, Guy Brousseau a contribué au développement de l’usage des statistiques dans les recherches sur l’enseignement des mathématiques – à la fois dans une perspective heuristique (les analyses multidimensionnelles par exemple) et de mise à l’épreuve des hypothèses théoriques (statistiques inférentielles, statistiques descriptives et méthodes d’exploration des données). Il a contribué, en particulier, à la création et à l’usage en didactique, de l’analyse implicative (Gras et Lermann).

Principales notions développées dans le champ de la didactique

- La notion fondamentale est celle de situation ; elle peut être modélisée par un jeu formel. La possibilité d’isoler, dans le cadre de situations spécialement construites – comme "La course à vingt"[12], par exemple, des moments d’action, des moments de formulation, des moments orientés vers la validation et ses instruments, des moments d’institutionnalisation, ont constitué une dominante des travaux conduits pendant plus de trente ans sur des contenus mathématiques différents. Ils ont montré à la fois l’intérêt et la valeur heuristique de cette théorisation et peuvent témoigner du succès du projet scientifique de Guy Brousseau.
- La transposition didactique est un concept développé initialement par Yves Chevallard pour rendre compte des transformations que subissent les objets mathématiques quand ils sont amenés à entrer dans un système didactique. Dans le paradigme de la théorie des situations ce concept est précisé et opérationnalisé par la notion de situation fondamentale d’une connaissance, qui constitue un instrument d’étude privilégié de ces phénomènes transpositifs en précisant les conditions du maintien du sens des savoirs et connaissances lors de leur transposition.
- Le concept de contrat didactique, central dans l’analyse du fonctionnement du système didactique, a été récemment repris par Guy Brousseau lui-même dans une perspective de modélisation de différents types de contrats. D’autres chercheurs ont étudié, dans une perspective différentielle, les conditions didactiques susceptibles d’expliquer pourquoi certains élèves s’avèrent plus sensibles que d’autres aux implicites mobilisés dans le contrat, ainsi que les liens que ces phénomènes de sensibilité au contrat didactique entretiennent avec la traditionnelle question des inégalités scolaires (B. Sarrazy).
- Le concept d’obstacle, emprunté à l’épistémologue Gaston Bachelard, a permis de dégager des approches originales dans l’analyse des erreurs des élèves. Ce concept a été particulièrement productif dans l’analyse des difficultés du passage des nombres entiers aux nombres décimaux.
- La distinction opérée entre les connaissances engagées dans l’action, produits de l’activité du sujet dans ses rapports au milieu et le savoir repéré dans les institutions, a permis d’ouvrir un champ d’étude relatif au rôle de l’énumération dans la construction des nombres (J. Briand), et un autre concernant le traitement des rapports entre connaissances spatiales et géométrie euclidienne (R. Berthelot, M.-H. Salin).
- Le concept de milieu pour l’action et sa structuration permettent de modéliser les ruptures nécessaires opérées dans les changements de référence du sujet dans un contexte didactique (distinction situation d’apprentissage, situation didactique). Ce concept,  introduit dès les débuts de la théorisation des faits didactiques, a été repris et approfondi par C. Margolinas, en particulier pour analyser l’action du professeur dans les classes ordinaires.
- La mémoire didactique est un concept essentiel qui a permis de rendre compte des phénomènes liés au temps didactique, de la progression de ce dernier, de la conversion des connaissances en savoir par l’action d’institutionnalisation du professeur (J. Centeno).
- La place et le rôle de l’institutionnalisation, qui consiste à fixer à partir des connaissances  élaborées dans les situations adidactiques, les éléments qui vont participer à la construction et au repérage explicite des savoirs et assurer ainsi la mise en cohérence des apprentissages avec les objectifs d’enseignement fixés par l’institution. (A. Rouchier)
- La notion d’assortiment didactique est plus récente. Elle permet d’étudier la structuration des ensembles d’activités et d’exercices réunis dans une intention d’enseignement. (F. Genestoux).

Les domaines mathématiques étudiés :

Que ce soit directement, à travers son propre travail ou celui de ses élèves ou encore par l’intermédiaire des travaux conduits dans le paradigme d’étude qu’il a dégagé, Guy Brousseau s’est intéressé à tous les domaines des mathématiques et notamment à ceux qui couvrent la période de l’enseignement obligatoire.
- Les difficultés de l’apprentissage des algorithmes classiques de la multiplication et de la division, les qualités d’autres algorithmes aussi bien du point de vue de la facilité d’apprentissage que de la facilité d’utilisation, les débuts de leur enseignement : sens de l’opération et construction de l’algorithme (Guy Brousseau).
- Les premiers enseignements du nombre et de la numération. La situation fondamentale du nombre, moyen pour réaliser une collection équipotente à une collection donnée conjuguée avec l’utilisation des variables didactiques permet d’engendrer un grand nombre de situations à dominante d’action ou de communication permettant de structurer avec succès les apprentissages premiers. (H. El Bouazzaoui, B. de Villegas Quevedo). 
- La création d’un code de désignation dans un contexte ensembliste au niveau de l’école maternelle (J. Peres).
- Les probabilités à la fin de l’école élémentaire : rencontrer des situations dans lesquelles les premières notions de probabilités sont des moyens de décision. (G. Brousseau)
- Les nombres rationnels et les nombres décimaux : des situations fondamentales et une progression annuelle complète construite à la suite d’un programme pluri-annuel (G. Brousseau, N. Brousseau)  
- La nécessaire diversité des contextes et des situations dans lesquelles le raisonnement mathématique se spécifie : résolution de problèmes d’arithmétique scolaire, situation de choix multiple, etc…(P. Gibel, P. Orus, B. Mopondi) 
- La détermination de la place des connaissances antérieures non formalisées et leur prise en charge effective dans l’enseignement : le cas de la géométrie (R. Berthelot, D. Fregona, M.-H. Salin),le cas de l’énumération (J. Briand), celui du raisonnement (P. Orus)
- L’enseignement de la soustraction et la famille de situations articulées autour du jeu de la boîte (G. Brousseau).
- L’étude des conditions de la transition entre l’arithmétique scolaire et l’algèbre (D. Broin)
- La notion de fonction et le rôle de la graphication (P. Alson, I. Bloch, E. Lacasta).
- Les débuts de la proportionnalité : une situation fondamentale basée sur la notion de partage équitable (E. Comin).

Une participation active aux engagements d’une génération :

L’engagement de Guy Brousseau vis à vis de l’enseignement des mathématiques, de son suivi, de l’étude des questions qu’il soulève, ne s’est pas manifesté seulement sur le plan de la recherche.
Au plan national, il a joué un rôle extrêmement important notamment dans l’Association des Professeurs de Mathématiques et, par cet intermédiaire, il a participé activement à la conception et à la mise en place des IREM. Ce sont des institutions originales dans le contexte institutionnel français à partir desquelles des collaborations multiples ont été développées au service de l’enseignement des mathématiques en s’appuyant sur trois pôles : recherche, innovation et formation des maîtres. Il a été directement à l’initiative de la création d’un groupe national de travail qui réunit les formateurs de maîtres de l’école élémentaire depuis 30 ans : la COPIRELEM[13]. Il a aussi participé très activement à la création de nombreux autres instruments de l’action scientifique collective dédiés à la formation des jeunes chercheurs[14], aux débats et à la circulation des idées : parmi eux, il faut citer la revue scientifique (RDM), l’association savante (ARDM), l’Ecole d’été, le Séminaire National de Didactique des mathématiques.
On trouve aussi ces engagements sur le plan international, Guy Brousseau a été, dans le prolongement de Caleb Gattegno, de Jean Piaget, de Willy Servais, de Zofia Krygowska, de Lucienne Félix, de Hans Freudenthal, d’Ephraïm Fishbein et de beaucoup d’autres chercheurs majeurs un animateur infatigable de la CIEAEM dont il a assuré le secrétariat pendant plusieurs années et qu’il a suivie régulièrement au cours de ses « déplacements estivaux » de Suisse au Mexique, de Hongrie en Grande Bretagne de 1960 jusqu’au début des années 90. Le terme animation ne rend d’ailleurs qu’imparfaitement compte de la diversité et de la profondeur du travail qu’il fallait conduire dans le cadre d’une structure aussi peu assujettie que possible aux contraintes institutionnelles que ne l’était la CIEAEM au cours des années 60, 70 et 80. Guy Brousseau a également joué un rôle central dans le lancement initial du groupe international PME[15] à partir de la Conférence Internationale de l’ICME en 1976 à Karlsruhe. Il a été, et continue à être invité régulièrement à participer à des ouvrages collectifs et à des manifestations scientifiques internationales concernant l’enseignement des mathématiques. Guy Brousseau a été reçu Docteur Honoris Causa de l’université de Montréal en juin 1997.

Des instruments pour l’action enseignante, pour la formation des maîtres et pour la recherche

L’influence de Guy Brousseau va bien au-delà du seul cercle de la recherche. Dès les années 70, par exemple, dans le cadre de l’INRP[16] et dans celui des IREM, de nombreuses équipes se sont constituées pour élaborer des produits expérimentaux pour l’enseignement avec un objectif de généralisation par l’intermédiaire d’ouvrages pour les maîtres et de manuels pour les élèves. Ces produits prenaient largement appui d’une part sur le cadre théorique fourni par la théorie des situations didactiques, d’autre part sur les nombreuses propositions de situations et de problèmes construits et étudiés au COREM. La reconnaissance du rôle et de la place de l’activité mathématique propre de l’élève comme moteur de l’apprentissage, la prise en compte des obstacles épistémologiques et didactiques, l’appui organisé sur des situations fondamentales,  l’attention portée aux formulations sont autant d’acquis qui imprègnent fortement les programmes d’enseignement et les pratiques des enseignants français.
La formation des enseignants a toujours été une préoccupation de Guy Brousseau. Les concepts qu’il a dégagés, contrôlés dans leur aptitude à favoriser l’intelligence de l’action didactique, ont fortement influencé les programmes actuels de formation des maîtres de l’école élémentaire. On retrouve cette influence dans le recrutement. En effet, les étudiants qui souhaitent devenir enseignants apprennent à analyser des productions d’élèves et des documents pédagogiques en s’appuyant sur les catégories analytiques issues de la théorie des situations didactiques. On retrouve aussi cette influence dans les autres moments de la formation, moments au cours desquels les jeunes professeurs apprennent d’autres composantes de leur métier : la construction de situations d’enseignement et d’apprentissage. Enfin, par sa contribution à la mise en place de la COPIRELEM dont il a suivi les travaux depuis sa création, il a permis que les mathématiques de l’école élémentaire disposent d'un instrument unique de coordination nationale de la formation des maîtres, liée aux IREM et aux IUFM.